L'histoire et la philosophie
de la réforme des mathématiques
Depuis longtemps, les professeurs de calcul infinitésimal réclament de meilleurs manuels. Ces derniers mois, après une grande fanfare, quelques livres ont été lancés avec la prétention de répondre à cette demande. Mais de nombreux enseignants disent déjà que ce « nouveau » ressemble beaucoup à l'ancien qui a si mal fonctionné, sauf qu'il s'agit maintenant de tentatives beaucoup plus élaborées et subtiles de persuader l'étudiant (et l'enseignant) qu'il y a une « compréhension », tout en dissimulant d'autant plus résolument les principes essentiels.
Ces derniers mois également, une revue destinée à guider les professeurs de mathématiques du niveau collégial a publié un éditorial qui se propose de réfuter « le mythe de la culture scientifique ». Sous la bannière de cette « culture scientifique », on a justifié une restructuration majeure des programmes scolaires au cours des dernières décennies, que de nombreux scientifiques ont jugée comme une dilution forcée du contenu, visant à produire des étudiants qui n'ont aucune compréhension de la science mais qui seraient tout de même capables d'en parler et d'écrire à son sujet. Aujourd'hui, on nous dit que la plupart des élèves ne devraient même pas atteindre cette « littératie » et viser seulement un objectif très réduit de « sensibilisation ». Un exemple actuel (tiré du journal d'un syndicat d'enseignants) de ce que signifie cette sensibilisation est la capacité de reconnaître des termes tels que « théorie du chaos » et « changement de paradigme » et, sur cette base, de se soumettre à toute réorganisation postmoderniste proposée.
L'affirmation selon laquelle nous sommes désormais dans une ère « postmoderne » et « ludique » est avancée par les centres universitaires de pédagogie comme base pour remplacer l'apprentissage des mathématiques par « une enquête sur nos habitudes ». Dans une tentative d'enrôler certains professeurs dans cette transformation, les vieilles revendications écoterroristes, selon lesquelles la pensée mathématique soutient la technologie militaire et la destruction de l'environnement, et selon lesquelles nous « sommes » nos mathématiques, ont été ressuscitées.
Des bases philosophiques pour ces « réformes » de contre-réforme sont également proposées depuis quelques mois. Dans des revues américaines et canadiennes destinées aux professeurs de mathématiques du collégial, il est révélé que les idées mathématiques ont un caractère social et que ces rituels sociaux constituent une troisième catégorie d'être, et on nous assure que le programme d'études se situe entre l'individuel et le collectif. Au moins deux publications récentes sur les mathématiques ont fait l'éloge des philosophes Kuhn, Lakatos, Feyerabend et Popper, l'une disant que la philosophie des mathématiques a besoin de grands innovateurs dans leur moule, l'autre les qualifiant de « philosophes de l'irrationalisme » exemplaires.
La relation de 1996 entre l'enseignement des mathématiques et la philosophie des mathématiques n'est que la dernière étape d'un long processus. Il y a trois cents ans, la règle de Leibniz sur le taux de variation d'un produit et le théorème de Newton selon lequel le taux de variation de l'aire sous une courbe est la hauteur de la courbe, ont été explicités et rendus publics. Ce calcul a été développé par Bernoulli et Euler, Cauchy et Maxwell pour devenir l'instrument universel de conception des moteurs, des navires, des systèmes d'alimentation électrique et de communication, etc. Pourtant, après trois cents ans, la plupart des gens, y compris ceux qui construisent réellement ces merveilles, ne sont toujours pas en mesure de contester ces conceptions sur leurs propres bases, car la connaissance de l'instrument a été niée. Plus bizarre encore : l'incompréhension est partagée même par la plupart des gens qui ont suivi des cours que l'État s'est donné beaucoup de mal à dispenser.
Il existe des professeurs qui croient que la plupart des étudiants sont incapables d'apprendre et ne veulent pas apprendre un sujet sérieux. Mais déjà vers 1750, à Milan, en Italie, Maria Agnesi a écrit et imprimé un manuel scolaire en partant du principe que tous les jeunes Italiens pouvaient et devaient apprendre le calcul infinitésimal. Sa vision éclairée n'a pas encore été réalisée (en Italie ou ailleurs). Que s'est-il passé ?
Après l'introduction du système décimalisé par la révolution française, il a fallu recalculer les tables trigonométriques et logarithmiques utilisées dans la construction, la navigation, etc. Il y a quelques années, l'histoire vraie suivante à ce sujet a été largement diffusée par une multinationale géante de l'informatique : Un ingénieur accompli appelé Prony a été chargé d'organiser la grande tâche de calcul. Empruntant à Adam Smith, il divisa le personnel en trois niveaux : le niveau A était constitué de quelques mathématiciens capables d'inventer les formules appropriées, le niveau B d'un groupe un peu plus important de personnes capables de convertir les formules en algorithmes, mais un groupe C beaucoup plus important d'hommes réalisant effectivement les algorithmes en ajoutant et en multipliant. Le point que la société informatique a trouvé digne de ressusciter deux cents ans plus tard est le suivant : « On a découvert que le travail se déroulait plus facilement si les membres du groupe C ne connaissaient pas les mathématiques. »
En Grande-Bretagne, dans les années 1830, des millions de personnes étaient en mouvement, réclamant la démocratie. Parmi les mesures visant à étouffer les revendications de ce mouvement chartiste, le Conseil privé créa pour la première fois un système d'écoles subventionnées par l'État, ainsi que la formation et l'inspection des enseignants, afin « d'introduire l'ordre et la discipline dans la population ouvrière, alors que les anciennes méthodes d'exercice de l'autorité s'étaient effondrées ». (Encyclopedia Brittanica). L'éducation dispensée par ces nouvelles écoles est consciemment à deux niveaux : par exemple, l'un des documents clés exige que « l'arithmétique soit la logique des pauvres ». Dans les systèmes scolaires calqués sur ce modèle, il est souvent évident que, tandis que les enseignants s'efforcent d'enseigner suffisamment, les dépenses et les règlements administratifs ont pour objectif plus large de veiller à ce que nous n'enseignions pas trop.
Avant 1848, l'optimisme régnait quant à la possibilité d'une victoire des idées éclairées. Par exemple, le physicien danois Oersted, qui a découvert un principe important relatif à l'électricité et au magnétisme, a créé une institution pour le faire connaître à tous. Le mathématicien allemand Grassmann, qui a publié en 1844 une nouvelle théorie et une nouvelle méthode en géométrie, aujourd'hui largement utilisées par les physiciens, était en fait un professeur de lycée qui insistait sur le fait que sa nouvelle philosophie dialectique était au moins aussi importante, puisqu'elle visait explicitement à aider les étudiants à apprendre et à comprendre. Cependant, dans les années 1870, lorsqu'un de ses disciples publia un livre montrant en détail comment les méthodes de Grassmann pouvaient être utilisées non seulement pour enseigner la géométrie, mais aussi pour introduire le calcul infinitésimal dans les écoles secondaires, il a reçu une critique et une condamnation très cinglantes pour avoir suggéré un tel bouleversement de l'ordre des choses en Prusse ; l'auteur de la critique, Felix Klein, fut plus tard le représentant officiel de cet Empire à l'Exposition universelle qui se tint en même temps que l'ouverture de l'Université Rockefeller de Chicago.
En suivant l'exemple du Conseil privé, on a développé un ensemble de techniques, une sorte de technique de pugiliste, pour donner parfois l'impression de céder aux demandes de réforme tout en dirigeant nos énergies vers un but opposé. Par exemple, quarante ans après la mort de Grassmann, l'establishment prussien a décidé d'en faire « une grande âme allemande », mais il a été dépeint dans les revues pragmatiques comme un idéaliste philosophique. En 1908, Lénine défendit la philosophie matérialiste de Grassmannn contre cette déformation injustifiée, et fit également remarquer, à propos de certaines propositions visant à introduire les mathématiques supérieures dans les écoles, que cela n'était sûrement pas fait dans le but d'approfondir et d'élargir la connaissance de la science, mais plutôt pour fournir une base à la promotion de la philosophie idéaliste.
En effet, les vulgarisateurs du pragmatisme et les organisateurs de l'enseignement des mathématiques dans les collèges ont été étroitement associés pendant de nombreuses années, et les principaux cercles de philosophie, tels que les Gifford Lectures en Écosse et les Silliman Lectures à Yale, ont commencé à abuser systématiquement des mathématiques et surtout de l'ignorance de leur public en la matière. Le premier ministre de l'empire britannique (surnommé « Bloody Balfour » pour sa répression des Irlandais et qui sera plus tard célèbre pour sa déclaration de soutien au sionisme), qui a écrit plusieurs livres de philosophie, était également connu pour son Education Act qui réorganisait les lycées. Balfour a déclaré dans l'une de ses conférences à Gifford : « J'aimerais être un mathématicien. »
En effet, être connu en tant que mathématicien est devenu une voie vers la reconnaissance historique en tant que philosophe. Par exemple, les opinions de Bertrand Russell sur tout devinrent recherchées et il finit même par recevoir le prix Nobel, en partie à cause de sa notoriété en tant que mathématicien ; grâce à un habile jeu de mots, il conçut une nouvelle branche de la philosophie connue sous le nom de « fondements des mathématiques », dont le seul rôle est de donner aux mathématiques la permission d'exister, et qui doit être écrite dans des symboles différents des symboles mathématiques habituels. Cette dernière ruse, il l'avait apprise de Peano, dont les disciples avaient fièrement produit un texte de lycée entièrement écrit en symboles, afin de dissiper toute idée fausse qu'avec les « nombres », les « lignes » ou l'« espace », nous nous référons réellement à quelque chose ; étonnamment, cet ouvrage était présenté comme une clarification de Grassmann.
Le personnage sans doute le plus connu du XXe siècle qui a consciemment guidé ses actions avec la philosophie pragmatique est Mussolini, mais sans doute tout aussi important est John Dewey, dont les enseignements et les organisations ont eu une influence considérable sur l'éducation dans le monde entier. Il était parfois très clair sur l'orientation de sa réforme ; par exemple, en Chine, en 1919, il a donné un cours dans un collège d'enseignants dans lequel il a énoncé son principe tristement célèbre : « Enseignez à l'enfant plutôt que d'enseigner la science » !
Bien sûr, au cours des siècles, les enseignants consciencieux ont fait les deux : l'acquisition d'une partie des connaissances accumulées par l'humanité (la science) est le but de la présence de l'enfant à l'école, mais l'enseignant s'efforce de guider cette acquisition en tenant compte de la situation particulière de chaque enfant. Pourquoi alors Dewey interdit-il l'enseignement du savoir ? En Chine, il a comparé le prétendu « autoritarisme » de la science avec le régime impérial récemment renversé, et depuis lors, l'accusation générale d'« autoritarisme » a été utilisée des milliers de fois comme prétexte pour éliminer des systèmes scolaires l'enseignement de l'aspect déductif en géométrie, des parties grammaticales du discours, du schéma des phrases, etc. En effet, aujourd'hui, de nombreux professeurs de mathématiques de l'enseignement supérieur découvrent qu'une grande partie des difficultés rencontrées par les étudiants fraîchement sortis de l'école secondaire ne sont pas dues aux mathématiques elles-mêmes, mais à leur première rencontre réelle avec la nécessité d'utiliser le langage ordinaire de manière précise. Le puissant principe de Dewey, qui consiste à « enseigner à l'enfant plutôt qu'enseigner la science », a de nombreux corollaires, comme la théorie anti-enfant selon laquelle « l'apprentissage est un plaisir », et finalement la logique selon laquelle les plaisanteries prennent la place du raisonnement ; le principe inclut certainement l'injonction souvent adressée aux élèves : « Dites-le dans vos propres mots. » Cette injonction est très séduisante pour les enseignants, qui savent que la compréhension nécessite un acte conscient de l'individu. Cependant, toute l'atmosphère de l'école impose souvent que « dans vos propres mots » signifie « aussi imprécis que possible », détruisant ainsi l'acquisition de concepts sous une forme utilisable.
Déjà au début des années 1900, la tradition selon laquelle l'école devait être consacrée à l'apprentissage des connaissances humaines accumulées était érodée d'une autre manière : la ville sidérurgique de Gary, dans l'Indiana, a été entièrement construite à la demande de Rockefeller : les usines, les maisons des ouvriers, les trottoirs et le système scolaire. Pour minimiser le temps libre des fils et des filles des ouvriers, les activités extrascolaires dans les écoles ont été déclarées essentielles au développement de « l'enfant ». Ce système scolaire approuvé par Dewey a été étudié par des administrateurs du monde entier qui se sont déplacés pour l'observer. L'ensemble du programme de Dewey était qualifié d'éducation « progressive », illustrant par l'utilisation de ce terme le principe fondamental de l'épistémologie pragmatiste : la vérité est ce que l'on peut se permettre.
En 1915, l'organisation mathématique américaine se scinde en deux, l'une se consacrant essentiellement à la promotion de la recherche, l'autre étant censée se consacrer à la promotion de l'enseignement collégial. Cette dernière maintient et approfondit ses liens avec la philosophie pragmatique en 1921 lorsque, lors d'une réunion au Wellesley College, la veuve du principal publiciste du pragmatisme, Paul Carus (dont le but déclaré était de promouvoir la religion sur la base de la science récente), donne plusieurs milliers de dollars pour financer une série de monographies. Lors de la même réunion, le président de l'organisation a prononcé son discours intitulé : « La religion d'un mathématicien », composé de principes tels que « puisque nous connaissons les infinitésimaux, nous devons aussi connaître notre propre insignifiance ; puisque nous croyons à l'infini, nous devons aussi croire à une toute-puissance ; puisque nous pouvons imaginer la quatrième dimension, nous pouvons aussi imaginer le ciel, etc. ». Cet énoncé de politique de l'organisation n'a jamais été désavoué, et ses publications, qui visent à donner des conseils aux enseignants des collèges, ont au fil des ans affiné jusqu'à un art précis un style d'écriture similaire à celui du Scientific American, c'est-à-dire qu'on présume que les lecteurs ne passeront pas d'un niveau inférieur à un niveau supérieur, et donc sous couvert de « vulgarisation », tous les concepts sont rendus suffisamment imprécis pour être inutilisables par quiconque. L'auteur de ce discours présidentiel était l'auteur de l'un des rares textes sur l'histoire des mathématiques alors disponibles en anglais.
On dit souvent que les mathématiques elles-mêmes ont fait plus de progrès au XXe siècle que dans tous les siècles précédents. Ces progrès comprennent non seulement la résolution et la formulation de problèmes difficiles ayant un contenu géométrique ou autre, mais aussi (et c'est indispensable) le développement de concepts unificateurs qui ont une grande valeur de simplification et de clarification. Une occasion s'est présentée vers 1960 de diffuser cette valeur de simplification et de clarification à un nombre beaucoup plus grand d'étudiants. L'occasion, telle que je la comprends, était la suivante : les cercles dirigeants américains, qui venaient de se réjouir du fait que leur ami Khrouchtchev avait réussi à renverser le système socialiste et était en train de le transformer en un système pseudo-socialiste, se sont soudain rendu compte qu'ils étaient également confrontés à une superpuissance rivale. Cela impliquait un certain déplacement de la frontière entre les niveaux B et C sur l'échelle de Prony, un réajustement de la ligne entre « arithmétique » et « logique » sur le plan anti-chartiste du Conseil privé : davantage d'étudiants devraient apprendre plus de mathématiques et de sciences afin de contrer la menace Spoutnik. Quels que soient les détails précis du contexte, l'occasion s'est présentée vers 1960 de faire en sorte que des chercheurs universitaires dirigent des cours d'été pour des professeurs de lycée enthousiastes, que des équipes de rédaction produisent de nouveaux manuels pour les élèves et les enseignants, etc. Le défi a été relevé avec enthousiasme par de nombreux professionnels dans l'esprit de faire en sorte que ces concepts, qui s'étaient révélés si éclairants pour eux, servent aussi à éclairer tout le monde. Bien sûr, une telle entreprise nécessite plusieurs années de retour des élèves et de révision des textes (et de nouvelles recherches mathématiques !) pour être couronnée de succès. Mais ce stade n'a jamais été atteint car le mouvement a été discrédité ; les professionnels enthousiastes avaient sous-estimé la préparation de l'opposition. Par une habile confusion du sens de mots comme « fondation », le courant fondationnaliste (qui s'était enraciné depuis l'époque où Bertrand Russell avait commencé à la London School of Economics) insistait pour que les textes soient écrits dans leur notation idiosyncratique. Et les écoles professionnelles de pédagogie (logées depuis Dewey dans des tours d'ivoire éloignées des véritables départements scientifiques) ont pris la direction du mouvement au détriment des scientifiques déconcertés, assurant ainsi sa destruction.
Il semblerait qu'un moyen évident d'améliorer l'enseignement des mathématiques serait de donner plus d'exemples et plus d'applications. C'est exact, bien sûr, mais le fait d'en faire une exigence et de s'arrêter là revient à sous-estimer ce à quoi nous sommes confrontés. Les années 1970 et 1980 ont vu la publication de nombreux textes de calcul infinitésimal « appliqué » dans lesquels les principes explicites étaient subordonnés à des problèmes édulcorés et déformés au-delà de l'utilisabilité dans divers domaines. Mais comme de nombreux professeurs de ces divers domaines le comprennent, les mathématiques sont une théorie. Ce dont un étudiant a besoin en mathématiques dans un domaine d'application tel que la chimie, la gestion d'entreprise, etc., c'est de connaître les mathématiques aussi bien que possible afin que les concepts appliqués puissent être abordés sans trop de mystère mathématique et que la maîtrise des nouvelles méthodes appropriées puisse être en partie autoguidée. Des méthodes isolées, particulières, apprises mécaniquement puis oubliées, et surtout, des tentatives peu convaincantes d'enseigner une prétendue application au lieu des principes explicites du calcul, ne peuvent qu'affecter négativement la capacité des étudiants à appliquer les mathématiques.
La demande de meilleurs manuels de calcul infinitésimal dans le monde anglophone a donc commencé, pour les raisons ci-mentionnées et bien d'autres, à devenir plus menaçante. La réponse initiale des éditeurs (qu'ils ne changeraient jamais leur politique consistant à proposer l'année suivante une copie exacte du texte concurrent qui avait fait le plus de profit l'année précédente, mais avec plus de couleurs) a été accueillie avec un mépris mérité. Certaines des offres les plus récentes sont le résultat d'une intervention gouvernementale de plusieurs millions de dollars.
Contrairement au portrait du professeur qui considère que l'enseignement et la recherche sont antagonistes, beaucoup considèrent qu'ils se renforcent mutuellement.
De nombreuses idées, qui ont donné lieu à un long et fructueux développement par les chercheurs, sont en fait nées de tentatives d'expliquer plus clairement les choses aux étudiants. Par exemple, les tentatives faites dans les années 1960 de fournir une base plus claire, plus simple et néanmoins rigoureuse pour la compréhension du calcul infinitésimal ont donné naissance à un nouveau courant de recherche sur les fondements de la topologie, de la logique et de l'analyse, dans le cadre duquel de nombreux articles novateurs et plus d'une douzaine de livres ont été produits. D'autre part, la recherche conduit de temps en temps à de nouveaux concepts de synthèse, qui clarifient énormément les choses pour les chercheurs, qui s'efforcent ensuite de trouver des moyens de diffuser cette clarification auprès des étudiants. Par exemple, la recherche sur les fondements mathématiques de la thermomécanique des continuums et des relations constitutives des matériaux a conduit à de nouvelles façons, plus directes, de traiter les infinitésimaux, les espaces de fonctions et les quantités extensives, qui sont maintenant enseignées aux étudiants de premier cycle dans certains endroits.
La recherche et l'enseignement sont bien sûr des aspects différents de l'activité, mais tant qu'ils sont vivants, ils ont en commun une orientation, un engagement à lutter inlassablement contre l'absence de connaissances.
L'histoire montre que les enseignants, qui aspirent à une plus grande possibilité de participer à la création et à la diffusion de la connaissance, ne seront pas satisfaits en attendant que telle ou telle entité de l'établissement la leur fournisse. Non seulement la satisfaction de ces besoins resterait à jamais un simple objectif politique, mais notre enthousiasme continuerait à être utilisé comme moteur pour la diffusion d'encore plus de pseudo-connaissance et de pessimisme. Le problème peut être résolu, sans subventions millionnaires, à la fois en concevant des matériels d'enseignement qui reflètent le développement historique réel d'un domaine donné (sans répéter un résumé faux vieux de cent ans, ni succomber à la dégénérescence post-moderniste ultra-révolutionnaire), et en rendant explicite la philosophie qui émerge des développements réels de la recherche au cours des dernières décennies. Un effort collectif est cependant nécessaire pour concentrer ces matériaux et les diffuser de manière à servir les besoins de la société dans son ensemble.